نهج إحصائي أساسي لتحليل البيانات الكمية
تستخدم نماذج الانحدار الخطي لإظهار أو التنبؤ بالعلاقة بين متغيرين أو عوامل . العامل الذي يتم التنبؤ به (العامل الذي تحل المعادلة له ) يسمى المتغير التابع. تسمى العوامل التي تستخدم للتنبؤ بقيمة المتغير التابع المتغيرات المستقلة.
لا تخبر البيانات الجيدة دائمًا القصة الكاملة. يستخدم تحليل الانحدار عادة في البحث لأنه يثبت وجود علاقة بين المتغيرات.
لكن العلاقة ليست هي نفس العلاقة السببية . حتى الخط الموجود في الانحدار الخطي البسيط الذي يناسب نقاط البيانات بشكل جيد قد لا يقول شيئًا محددًا حول علاقة السبب والنتيجة.
في الانحدار الخطي البسيط ، تتكون كل ملاحظة من قيمتين. قيمة واحدة للمتغير التابع وقيمة واحدة للمتغير المستقل.
- تحليل الانحدار الخطي البسيط يستخدم أبسط شكل لتحليل الانحدار على المتغير التابع ومتغير مستقل واحد. في هذا النموذج البسيط ، يقترب الخط المستقيم من العلاقة بين المتغير التابع والمتغير المستقل.
- تحليل الانحدار المتعدد عند استخدام متغيرين مستقلين أو أكثر في تحليل الانحدار ، لم يعد النموذج خطيًا بسيطًا.
بسيطة الانحدار الخطي النموذجي
يتم تمثيل نموذج الانحدار الخطي البسيط مثل: y = ( β 0 + β 1 + Ε
حسب الاصطلاح الرياضي ، يتم تحديد العاملين المشتركين في تحليل الانحدار الخطي البسيط x و y .
تُعرف المعادلة التي تصف كيفية ارتباط y بـ x كنموذج الانحدار . يحتوي نموذج الانحدار الخطي أيضًا على مصطلح خطأ يمثله الحرف Ε أو الحرف epsilon اليوناني. يستخدم مصطلح الخطأ لحساب التباين في y الذي لا يمكن تفسيره بالعلاقة الخطية بين x و y .
هناك أيضا المعلمات التي تمثل السكان قيد الدراسة. هذه المعلمات من النموذج التي تمثلها ( β 0 + β 1 × ).
بسيطة الانحدار الخطي النموذجي
يتم تمثيل معادلة الانحدار الخطي البسيط مثل: Ε ( y ) = ( β 0 + β 1 x ).
يتم رسم معادلة الانحدار الخطي البسيط كخط مستقيم.
( β 0 هي تقاطع y لخط الانحدار.
β 1 هو المنحدر.
Ε ( y ) هي القيمة المتوسطة أو المتوقعة لـ y لقيمة معينة من x .
يمكن لخط الانحدار إظهار علاقة خطية موجبة ، أو علاقة خطية سلبية ، أو عدم وجود علاقة. إذا كان الخط المرسوم في انحدار خطي بسيط مستويًا (ليس منحدرًا) ، فلا توجد علاقة بين المتغيرين. إذا كان خط الانحدار ينحدر للأعلى مع نهاية الجزء السفلي من الخط عند التقاطع y (محور) الرسم البياني ، ويمتد الطرف العلوي للخط إلى أعلى في حقل الرسم البياني ، بعيدًا عن التقاطع X (المحور) ، توجد علاقة خطية موجبة . إذا كان خط الانحدار ينحدر للأسفل مع نهاية السطر العلوي عند التقاطع y (المحور) للرسم البياني ، والنهاية السفلية للخط تمتد إلى الأسفل في حقل الرسم البياني ، باتجاه X التقاطع (المحور) توجد علاقة خطية سلبية.
معادلة الانحدار الخطي المقدر
إذا كانت معلمات السكان معروفة ، يمكن استخدام معادلة الانحدار الخطي البسيط (المبينة أدناه) لحساب القيمة المتوسطة لـ y لقيمة معروفة لـ x .
Ε ( y ) = ( β 0 + β 1 x ).
ومع ذلك ، من الناحية العملية ، فإن قيم المعلمات غير معروفة ، لذا يجب تقديرها باستخدام بيانات من عينة من السكان. يتم تقدير المعلمات السكانية باستخدام إحصائيات العينة . يتم تمثيل إحصائيات العينة بـ b 0 + b 1. عندما يتم استبدال إحصائيات العينة للمعلمات السكانية ، يتم تكوين معادلة الانحدار المقدرة.
تظهر معادلة الانحدار المقدرة أدناه.
( ŷ ) = ( β 0 + β 1 x
( ŷ ) ينطق y قبعة .
يسمى الرسم البياني لمعادلة الانحدار البسيط المقدرة بخط الانحدار المقدر.
يكون b 0 هو التقاطع y.
ب 1 هو المنحدر.
و ŷ ) هي القيمة المقدرة لـ y لقيمة معينة من x .
ملاحظة هامة: لا يستخدم تحليل الانحدار لتفسير العلاقات بين السبب والنتيجة بين المتغيرات. ومع ذلك ، يمكن أن يشير تحليل الانحدار إلى كيفية ارتباط المتغيرات أو إلى أي مدى ترتبط المتغيرات ببعضها البعض.
من خلال القيام بذلك ، يميل تحليل الانحدار إلى تكوين علاقات بارزة تبرر وجود باحث على دراية بإلقاء نظرة عن كثب .
المعروف أيضا باسم: انحدار ثنائي المتغير ، تحليل الانحدار
أمثلة: طريقة المربعات الصغرى هي إجراء إحصائي لاستخدام البيانات النموذجية لإيجاد قيمة معادلة الانحدار المقدرة. تم اقتراح طريقة المربعات الصغرى من قبل كارل فريدريش غاوس ، الذي ولد في عام 1777 وتوفي في عام 1855. ولا تزال طريقة المربعات الصغرى مستخدمة على نطاق واسع.
مصادر:
Anderson، DR، Sweeney، DJ، and Williams، TA (2003). أساسيات الإحصاء للأعمال والاقتصاد (3rd ed.) ميسون ، أوهايو: ساوثويسترن ، تومبسون التعلم.
______. (2010). شرح: تحليل الانحدار. أخبار معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.
McIntyre، L. (1994). استخدام بيانات السجائر لمقدمة عن الانحدار المتعدد. مجلة الاحصاء التعليم ، 2 (1).
Mendenhall، W.، and Sincich، T. (1992). الإحصاء للهندسة والعلوم (الطبعة الثالثة) ، نيويورك ، نيويورك: شركة Dellen Publishing Co.
Panchenko، D. 18.443 Statistics for Applications، Fall 2006، Section 14، Simple Linear Regression. (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا: معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا OpenCourseWare)